[智力风暴] 概率问题：请问应该换门吗？

马丁

【问题】请问应该换门吗？

这道题貌似是个真实事件，但是，任何结论，都可以进行怀疑和挑战，即使选择相信，也应该不仅仅因为它是由权威给出的，或者……统计结果也不是100%能说服人。无论换门或者不换，请说出你的理由来，可以发散，比如从心理学角度，还有社会问题等等，不一定是概率。

For every problem, there is always a solution, which is so quick, so appealing, and so wrong!

美国有一位著名的专栏作家 Marilyn vos Savant。她曾经是吉尼斯世界记录最高智商保持者（228）。她在周刊 Parade 上开有专栏 Ask Marilyn。就在这个专栏上，有人向 Marilyn 出了这样一题， 叫 Monty Hall Dilemma:

假定你在一个电视游戏中，主持人告诉你，这三扇关闭的门后面，有一辆轿车，两只山羊。你要是选中了藏车的门，那车就归你。当然，你要是挑中了藏山羊的门，那就只好吃羊肉。三扇门都没什么区别，因此挑中汽车的概率是 1/3。
于是你挑了一扇门，比如说第一扇门。剩下的两扇门后至少有一只羊。主持人当然知道门后有什么，于是他打开一扇关羊的门（比如说第三门）。现在只剩两扇门。
主持人问你愿意不愿意换成第二门。请问你应不应该换？或者说你能否因为换门而增加赢车的概率？

问题是给世界智商冠军玛瑞琳（Marilyn vos Savant）的。玛才女的回答是：
“是的，你应该换门。一门只有1/3的机会赢车，而二门有2/3的机会。这里有一个看清问题的好办法： 假定有一百万扇门，而你选择了一门。主持人知道车的所在。他跳过藏车门，打开除777777号之外的所有门。你肯定会急不可耐地换门，对不对？”

才女的答案立即引起数学教授们的抗议。信件如雪片般发到Parade编辑部，如“看来你喜欢直来直去，我也照此办理。你对换门问题的答案是错的。你这回可是砸锅了。让我解释给你听。当藏羊门被打开后，这一信息改变了剩下两个门的概率，而两扇门没哪一个有更高的机会。都是 1/2。 作为职业数学家，我对公众如此缺乏数学技能感到非常关切。 请你承认错误，并且将来在回答问题时谨慎一些”
------ Robert Sach, Ph.D. George Mason University

类似的信件来自 (全部都是博士),
Barry Pasternack (加州教授协会),
Frank Rose (Univ. of Michigan),
James Rauff (Millikin University),
Charles Reid (Univ. of Florida),
W. Robert Smith (Georgia State Univ),
E. Ray Bobo (Georgetown Univ),
Kent Ford (Dickinson State U.),
Glenn Galkins (Western State College),
Everrtt Harman (U.S. Army Research Institute)
。。。
据玛才女统计，公众来信中，92％认为玛瑞琳是错的，从高等学府的来信中，65％认为她砸了牌子。甚至众多报纸专栏作家也加入的声讨玛瑞琳的行列。幸亏真理不是由民主投票决定的。

在公众的强大压力下，玛瑞琳向读者求救，请中小学读者在用扑克牌模拟试验，得到广泛响应。一个星期后，实验结果从全国各地飞来，玛瑞琳是对的。

thewind

应该要换门

假设有ABC三个门，重复300次，ABC三个门有车各100次
第一次选定为A门，选对100次，有1/3的机率对，
开放没有车的门，B有车开放C门，C有车开放B门，A有车50次开放B，50次开放C
现在是300个A门(100车)+150个B门(100车)+150个C门(100车)
所以选A的机率还是1/3，但是换门后机率居为2/3(100/150)
所以一定要换门的啦.....

ssssssaad

不应该换门
如果严格按照概率的定义，当外部条件改变，事件发生的概率也会随之改变。
本来选中的概率为1/3，但当主持人打开一扇门之后，结果肯定改变，根据条件概率公式
P(B|A)=P(AB)/P(A)，A代表打开第三扇门没有车，B代表打开第一扇门有车，则可得
P(B|A)=1/3/(2/3)=1/2，即打开第一扇门有车的概率为1/2
同理，如果换门，打开第二扇门有车的概率也为1/2
公众的统计结果显然不可能是无限次的，那么就不能用概率来计算，其实用计算机模拟一下也是一个方法，难道就没人想得到吗

游心于无穷

进来围观概率牛人的答案
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换，等于有两次机会，当然要博下啦，不换吃羊肉，换了有机会赢车，最坏也是吃羊肉，不换就连可能赢车的机会都没有了。

ruoruow

不应该换门
如果严格按照概率的定义，当外部条件改变，事件发生的概率也会随之改变。
本来选中的概率为1/ ...
ssssssaad 发表于 2011-10-9 20:04

同意计算过程。
所以换不换门都可以。从概率角度，结果都一样。

换，等于有两次机会，当然要博下啦，不换吃羊肉，换了 ...
游心于无穷 发表于 2011-10-9 20:42

本来第一选择就有可能是车。

落日霞影

“欢迎来到幸运250！各位朋友们，周末过得好吗？我是主持人杨歌！——哦，谢谢！~~如果你愿意把欢乐带给自己，把欢乐带给别人的话，就来参加吧！欢迎大家锁定CCAV二套，收看正在播出的幸运250节目！”

     ”好了，现在就是万众期待的大奖环节！大家激不激动？！“杨歌挥了挥手。

     ”激——动——！“所有观众大喊。

     ”好！请现场的观众朋友们高举手中的号码牌！大屏幕转动起来！——停！”

     “88号！恭喜88号！88号的朋友请走上台来，对对对，就是那位戴眼镜的小伙子。”杨歌一手指着观众席上一位白色T-shirt的帅哥，“这位幸运观众，您贵姓？”

     “我叫马丁，马丁的马，马丁的丁。”88号马丁扶了扶眼镜。

     “啊啊啊……好名字……”杨歌笑吟吟的说，“那个，小马同学想知道今天的大奖是什么吗？”

     “不想……”

     “啊？”

     “我开玩笑的。”

     “哈哈，小马同学真是幽默。”杨歌偷偷用袖子擦了一下汗。“好了好了，言归正传，来揭开我们今天的大奖！——噔噔噔噔——梅赛德斯奔驰C300时尚轿车，尊贵典雅，安全舒适！”

     全场尖叫：“哇塞！”

     “小马喜欢吗？”

     “当然。我想开着车带我的女朋友花花环游世界。”马丁腼腆的笑了。

     全场女观众尖叫。

     “但是，要拿到这份大奖还需要一点小小的考验。”杨歌转身，后面出现十扇大门，“大奖就藏在这十扇门后面，看看你能否延续刚才的好运，奔驰轿车开回家！”

     马丁犹豫了一下，选择了八号门。

     我勒个去呦，这是什么运气啊。杨歌心里大骂。（编导：小杨，要是大奖给观众拿走了，后果嘛……嘿嘿，你知道的……）

     ”咳咳，小马，你确定选择八号门？“

     ”确定啊。8是我的幸运数字。“

     幸运个头，我的厄运啊。杨歌一边心里骂着，一边微笑着循循善诱：”这样吧，给你一点机会哦。我们看——”

     说着，杨歌走上去，揭开了一号门。

     空的。“换门吗？”

     马丁有点犹豫。

     二号门，空的。"换门吗？”

     犹豫……

     三号门，空的。“换门吗？”

     啊啊啊啊……

     ……

     好吧，可怜的主持人。最后只有八号门和十号门没开了。

     “换不换？”杨歌有气无力的问道。

     马丁眼珠一转，就我做过的换门题目，应该要换才对。更何况已经开了这么多门，换门后正确的概率大大滴啊！“换！”

     “恭喜你，选定十号门！”杨歌心花怒放，“噔噔噔噔……我们来看看——什么也没有。好吧，小马不要泄气，运气不好没有办法。欢迎下次带你女朋友一起来！”

     马丁：“…………………………”
     
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嘿嘿嘿，概率斗不过人啊哈哈哈！

leer20070420

楼上滴同学太油啦 我选 不换哦 有就有 没有就没有

thisummer

同意计算过程。
所以换不换门都可以。从概率角度，结果都一样。


本来第一选择就有可能是车。
ruoruow 发表于 2011-10-9 22:42

同意ruoruo.

换不换门，要看这个主持人，以往是喜欢故弄玄虚，还是多给别人一次机会

棠棣之花

像央视的开心词典，王小丫肯定会故意让人猜来猜去的。我就不换门了，反正一半机会。

ivoryz

正如杨歌所说，就是一个心理战，和概率反而没啥太大关系。即便顶楼说 Marylin 是对的，也不过是说 结果 对，并不是说她的理由对。大部分教授反对的实际上是她的推理过程，而不是她最后的选择。
那么再来看为什么 Marylin 的结果会对呢？3楼的解释很明确，因为即便是很多群众在手动验证，也没有达到无限次的要求，所以只应该理解为在有限次实验中，概率偏向了Marylin。这不过是个随机的结果而已。
就我本人来说，我会换门，不是出于概率考虑，而是觉得要对得起主持人，人家都那么卖力的抛媚眼了，咱能不接着么？

马丁

：我不说，我不说，hohohohoho ……

thewind

回来多说两句吧
这题的答案应该不是1/2，是因为主持人并不是随机选取第二门或第三门
主持人选的是已经确知门后没有车的门

如果主持人是随机选取一门，门后有车参赛者就领羊回家
这样剩下的门的确机率是1/2
用之前的300次选择做为例子
有100次车在第一门后，100次在第二门后，100次在第三门后
选第一门之后，第二和第三门随机开一扇，门后有车就领羊回家
在300次中有150次是第二门，150次是第三门
门后有车的机率是1/3，也就是(100/300)
理论上会开到(50次第二门后有车)+(50次第三门后有车)
也就是300次中有100次是第一次开门就结束了
机率为1/3
剩下的200次可以继续玩，有100次是第一门后有车
因此，换不换门机率都为1/2

但是比赛时并非如此，主持人已知结果并选了没车的门
300次中选第一个门会中的机率还是1/3
换门的机率是2/3 (详见我2楼回复文)

由于我的统计实在是不好，完全看不懂Marylin 的解释，
也没办法把想法转成简单的公式，只好用实际的数字下去算
其实第一次得到2/3的结论自己也挺吃惊的 (我本来也以为是1/2)
不过以本人历次数学考试的经验，机率这种事情，数字代入的答案最准
(假设了一堆代入公式反而常常算不出来....orz，果然是统计不好阿.....)
因此坚持要换门

不过换不换门都好，反正是个游戏，
只要大家都玩得开心就好

马丁

这道题一眼看去，的确很容易得到1/2的结论，而且，原来坚信2/3结论的人，也很难说服相信1/2的人们，我试试看。

比较机械的读题，我们可以得到这样的信息：这是一个过程固定的连续事件，有两个环节
1. 参赛者选一个门
2. 主持人排除一个空门
无论参赛者选的是什么门，主持人都会作“排除一个空门”的操作，童鞋们同意吗？

如果同意，一开始，毫无疑问，参赛者挑对有车的门的几率是1/3，挑错的几率是2/3。从事件的起点开始，挑对的几率比较小，挑错的几率比较大，对吗？

既然，你知道你第一次更有可能挑错一些，那么为什么不按照挑错的思路，选择“换门”？

玛瑞林的解释其实是想把数据夸张一下，显得更直观一些。比如有1000个门，里边只有一个有车。你先挑中一扇门，然后主持人依次打开998扇空门，问你换不换。你第一次挑对的几率只有1/1000，挑错的几率却有999/1000，而主持人，把这999/1000的概率浓缩了，全集中在仅剩的那一辆车上。

你，真的不换吗？

ssssssaad

这道题一眼看去，的确很容易得到1/2的结论，而且，原来坚信2/3结论的人，也很难说服相信1/2的人们，我试试看 ...
马丁 发表于 2011-10-11 06:35

有道理，前些时候的推断可能不太严谨，毕竟概率论已经N年不碰了。现在重新换一个角度，不妨假设1号门有车，2、3号门没车，计算选定一个门后，被主持人排除一个门，再换门获得车的概率。
选择1号门，再换门，获得车的概率是0；选择2号门，被排除3号门，再换门获得车的概率是1/3*1=1/3；同理，选择3号门，也是1/3。
这样，换门得车的概率为2/3。

ruoruow

回复 15# 略名

实际是
  有四种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/4)︰

    参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
    参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
    参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号。转换将失败。
    参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号。转换将失败。

玛瑞林的解释其实是想把数据夸张一下，显得更直观一些。比如有1000个门，里边只有一个有车。你先挑中一扇门，然后主持人依次打开998扇空门，问你换不换。你第一次挑对的几率只有1/1000，挑错的几率却有999/1000，而主持人，把这999/1000的概率浓缩了，全集中在仅剩的那一辆车上。
马丁 发表于 2011-10-11 05:35

所以，假如有1000扇门，主持人在不断开启998扇门的过程中，读者选中的那扇门和最后一扇门的中奖机率在同时增加，增加的部分平均的分摊在剩余的门上。
所以，并不是最后一扇门的几率是999/1000，第一扇门的几率依然是1/1000。